Para este processo existem várias técnicas, tais como a exploração de
vulnerabilidades, mudar o firmware ou alterar a partição de recuperação,
e mil e uma ferramentas automatizadas como z4root, Universal Androot,
SuperOneClick ...
Uma das ferramentas que geralmente usamos é Towelroot,
em primeiro lugar, porque não é necessário ter um computador e em
segundo lugar porque é uma ferramenta de grande botão que funciona com
muitos dos smartphones mais recentes, como a série Samsung Galaxy S *:

Towelroot usa um bug detectado por George Hotz, também conhecido como Geohot no kernel do Linux e que a maioria dos dispositivos têm sido remendado.
Geohot é um velho conhecido do mundo de telefones de hacking e consolas
de jogos, que entre seu portfólio de pesquisa pode pretender ter
técnicas desenvolvidas para desbloquear iPhones-iPads, reproduzir
estações 3 Androids, etc.
Towelroot não funcionar com HTC e terminais Motorola.
Temos testado com Samsung Galaxy S4, S5, Xperia Z, e funcionando corretamente.